Pretendo hacer una invitación a diversos conceptos de teoría de categorías dando un paseo por una categoría concreta y conocida, la categoría de espacios topológicos. En esta categoría, que llamaremos \(Top\), los objetos se corresponden a los espacios topológicos y los morfismos entre objetos a las funciones continuas entre dichos espacios.
Pero haremos más, vamos a considerar \(Top\) como una \(2\)-categoría. No vamos a ser muy estrictos con la definición, sólo diremos que tenemos funciones entre los morfismos que se pueden componer de forma razonable. Llamamos a estas funciones, 2-morfismos. En nuestro caso, en \(Top\) estos 2-morfismos serán las homotopías entre funciones continuas.
¿Dónde empezar?
¿Qué mejor sitio para empezar que por el objeto inicial? Un objeto de una categoría es inicial si existe un único morfismo de dicho objeto a todos los objetos de la categoría. Traduciendo la definición de objeto inicial para nuestra categoría Top, hablamos de un espacio topológico \(X\) tal que para todo otro espacio topológico \(Y\) existe una única función continua \(X \to Y\). Si nuestro paseo empieza por un objeto inicial, podemos llegar a todos los demás objetos dando sólo un paso. No en cualquier categoría existe tal objeto inicial, pero por suerte sí en Top.
Antes de desvelar el objeto inicial, recordemos los conceptos básicos de topología:
Espacio topológico
Un espacio topológico es un conjunto \(X\) y una colección \(\tau\) de subconjuntos de \(X\), cuyos miembros llamamos abiertos, tal que:
- El conjunto vacío y \(X\) son abiertos.
- Cualquier unión arbitraria de abiertos es abierto.
- Cualquier intersección de finita de abiertos es abierto.
Véase que nada en nuestra definición dice que \(X\) no pueda ser el propio conjunto vacío. El conjunto vacío \(\emptyset\) no tiene subconjuntos a parte de sí mismo, luego \(\tau = \{\emptyset\}\), lo que cumple todas las condiciones de la definición. ¿Pero que funciones continuas salen de este espacio topológico vacío?
Función continua
Dados dos espacios topológicos \(X\) y \(Y\), una función continua \(f \colon X \to Y\) es una función entre los conjuntos subyacentes tal que para todo abierto \(V\) de \(Y\), \(f^{-1}(V)\) es un abierto de \(X\).
De aquí se deduce que la única función \(f \colon \emptyset \to Y\) es continua para cualquier \(Y\), ya que para todo abierto \(V\) de \(Y\), \(f^{-1}(V) = \emptyset\), ¡que es un abierto del espacio topológico!
Con eso vemos que \(\emptyset\) es el objeto inicial de Top. Sin embargo, los morfismos que salen de \(\emptyset\) no son muy interesantes y parecen más artefactos de las definiciones. Podemos seguir uno de estos morfismos poco interesantes a un objeto algo más interesante, el espacio de Sierpinski.
Espacio de Sierpinski
Este espacio suele presentarse en cursos introductorios de topología. Se trata del espacio topológico sobre el conjunto \(\{0,1\}\) con la topología \(\{\emptyset, \{1\}, \{0,1\}\}\). Hay una infinidad de morfismos que salen de este espacio y otra infinidad que van a este espacio. Por suerte, hay una cantidad finita de endomorfismos, morfismos del objeto al propio objeto. Resulta que sólo hay 4 posibles funciones de \(\{0,1\}\) a \(\{0,1\}\), que son:
- \(id\): Identidad
- \(c_0\): Constante \(0\)
- \(c_1\): Constante \(1\)
- \(f\): Intercambio \(f(0)=1\) y \(f(1)=0\).
Siguiendo la definición de continuidad, se observa que las \(3\) primeras son continuas, pero la cuarta no, pues la preimagen del abierto \(\{1\}\) es \(f^{-1}(\{1\}) = \{0\}\), que no es un conjunto abierto. De los otros morfismos podemos decir que los morfismos constantes \(c_0\) y \(c_1\) son idempotentes (\(c_b \circ c_b = c_b\)).
(aquí viene una imagen poco ilustradora de los 2 puntos del espacio de Sierpinski con los 3 morfismos y un \(\Rightarrow\) entre \(id\) e \(c_1\))
Observamos esas indicaciones de \(2\)-morfismos entre \(id\) y \(c_1\), lo que significa una homotopía \(id \cong c_1\). Podemos dar tal homotopía explícitamente \(H \colon X \times I \to X\): \[ H(x,t) = \begin{cases} x & \text{si }t = 0\\ 1 & \text{si }t\neq 0 \end{cases} \] Basta ver que \(H^{-1}(\{1\}) = \{(1,0)\} \cup (X \times ]0,1])\), que es abierto (mírese que el complemento es el cerrado \(\{(0,0)\}\)). Como hemos visto que \(id\) es homotópica a una función constante, decimos que \(id\) es null-homotópico y que este espacio es contráctil. En particular, esto quiere decir que el espacio de Sierpinski \(Sierp\) se puede retraer al subespacio unitario \(\{1\}\), también llamado espacio punto. Formalmente hay un morfismo \(r \colon Sierp \to \{1\}\) con un inverso derecho \(i \colon \{1\} \to Sierp\).
El espacio punto
Siguiendo esta retracción llegamos al conjunto unitario \(\{1\}\) con topología \(\{\emptyset, \{1\}\}\), el objeto terminal de \(Top\). Para todo espacio topológico \(X\), sólo existe una única función constante, \(!_X\colon X \to \{1\}\) que es continua. Sin embargo, sí existen en general muchas funciones continuas \(\{1\} \to Y\), una por cada elemento de \(Y\) y todas son continuas. Con esto podemos caracterizar los espacios no vacíos (habitados), pues no existe \(\{1\} \to \emptyset\). Por otro lado, este útil espacio nos sirve también para caracterizar las funciones constantes. Efectivamente, una función continua \(f\colon X \to Y\) es constante sii factoriza por \(\{1\}\), en concreto, si existe \(c \colon \{1\} \to Y\) tal que \(f = c \circ\ !_X\).
De vuelta al espacio de Sierpinski
Volvamos al espacio de Sierpinski, porque tiene más curiosidades. Para ello pensemos qué significa que haya una función continua \(f \colon X \to Sierp\). De la continuidad sigue que \(f^{-1}(\{1\})\) es un abierto de \(X\). De ahí se deduce que hay una biyección entre el conjunto de morfismos entre \(X\) y \(Sierp\), y el conjunto de abiertos de \(X\). Formalmente:
\[ Top(X, Sierp) \cong \tau_X \]
Una forma de decir esto es que \(Sierp\) representa el functor \(\tau \colon Top^{Op} \to Set\), que asocia a cada espacio topológico \(X\) su topología \(\tau_X \subset Set\). El lema de Yoneda nos dice además que la propiedad de representar \(\tau\) es exclusivo de espacios homeomorfos a \(Sierp\).
Con estas ideas se define un clasificador de subobjetos abiertos: Para todo abierto \(U \subseteq X\), hay una única función continua \(\chi_U \colon X \to Sierp\) tal que \(\chi_U^{-1}(\{1\}) = U\).
Esta zona es muy excitante, pero deberiamos seguir nuestro paseo. ¿Qué tal si vamos al intervalo \([0,1]\)?
El intervalo \([0,1]\)
Un importante intervalo, para empezar un morfismo \(\gamma\colon [0,1] \to X\) recibe el nombre de curva. Téngase en cuenta que no estamos imponiendo nada sobre la diferenciabilidad de \(\gamma\), normalmente se pide que al menos \(\gamma\) sea diferenciable por partes. Aquí nuestras curvas pueden ser muy exóticas, como la curva de Hilbert, un epimorfismo al cuadrado \([0,1] \to [0,1]^2\).
Merece la pena observar la categoría coslice \([0,1] \backslash Top\), cuyos objetos son curvas \([0,1] \to X\) y los morfismos entre dos curvas \(\gamma\) en \(X\) y \(\eta\) en \(Y\) son funciones continuas \(X \to Y\) tal que: \[ f(\gamma(t)) = \eta(t) \] Es decir, funciones continuas que trasladan las curvas de un espacio a otro. Y esta categoría…no tiene mucho interés. De hecho, no hay nada más que decir sobre esta categoría; no todo tiene que ser interesante.
Pero sí puede ser interesante no la categoría asociada a los morfismos \([0,1] \to X\), sino el espacio topológico asociado. Para todo espacio topológico, existe el llamado objeto exponencial \(X^{[0,1]}\), el espacio de las curvas en X, tambén llamado espacio de caminos en X. De hecho, existe un objeto exponencial \(X^Y\) en \(Top\) cuando \(Y\) es un espacio localmente compacto. Esto último quiere decir que cada punto del espacio \(y \in Y\) tiene un entorno abierto \(V\) que está contenido en un conjunto compacto. De la misma forma que los morfismos que parten de \([0,1]\) tienen su propio nombre, también lo tiene el objeto producto \(X \times [0,1]\), llamado cilindro de X. Ya deberiamos darnos cuenta que el cilindro resulta ser una pieza fundamental en topología, ya que son el fundamento de las homotopías.
El espacio de caminos \(X^{[0,1]}\) y el ciclindro \(X \times [0,1]\) cumplen una propiedad crucial, que paso a describir:
El espacio de curvas es una factorización del morfismo diagonal \(\Delta_X \colon X \to X \times X\): \[ \Delta_X \colon X \to X^{[0,1]} \to X \times X \] donde \(X \to X^{[0,1]}\) es la equivalencia de homotopía débil que asocia a cada punto el camino constante en dicho punto y \(X^{[0,1]} \to X \times X\) la fibración que asocia a cada camino el punto inicial y el punto final.
El cilindro es una factorización del morfismo codiagonal \(\nabla_X \colon X \sqcup X \to X\): \[ \nabla_X \colon X \sqcup X \to X \times [0,1] \to X \] Tal que \(X \sqcup X \to X \times [0,1]\) sea el cofibrado que asocia puntos iniciales o finales en el cilindro y \(X \times [0,1] \to X\) es una equivalencia de homotopía débil que proyecta la base del cilindro.
Si no conoce estos conceptos no importa. Lo importante es que estos morfismos tienen una estructura especial que caracterizan nuestros espacio de caminos y el cilindro. Estas características resultan ser cruciales en el campo de la teoría de homotopía y motivan la definición de las llamadas categorías modelos. En estas categorías se abstrae lo que significan todos estos conceptos: las equivalencias débiles, los fibrados, los cofibrados, el espacio de caminos y el cilindro. De esta forma, se describe exactamente qué es lo que se necesita para hacer homotopías.
Una pausa para discutir formalidades
Es un buen momento para hacer una pausa en nuestro paseo. Durante este descanso en un retórico banco, podemos hablar de qué quiero decir exactamente con 2-categoría.
Cuando hablo aquí de 2-categorías me refiero a lo que llaman 2-categorías generales o débiles. En concreto, significa que dado dos objetos \(X\) e \(Y\), el conjunto de morfismos entre ellos \(Top(X,Y)\) es una categoría, pero no del todo. Los objetos de \(Top(X,Y)\) son los morfismos de \(Top\), los morfismos de \(Top(X,Y)\) son los 2-morfismos, las homotopías. Sin embargo, ¿es la composición de homotopías asociativa? No del todo. Habitualmente, se define la composición de dos homotopías \(H_1, H_2 \colon X \times I \to X\) como: \[ H(x,t) = \begin{cases}H_1(x,2t) & \text{ si }t \leq 1/2\\ H_2(x,2t-1) & \text{ si }t > 1/2\end{cases} \]
Esto no cumple las requerimientos de los morfismos de una categoría, pero casi. Por ejemplo, la composición de una homotopía \(H \colon f \Rightarrow g\) con la homotopía identidad \(Id_f \colon f \Rightarrow f\) no nos devuelve \(H\), pero sí una homotopía muy similar a \(H\). Para arreglar esto, introducimos 3-morfismos entre homotopías equivalentes. Entonces, podemos describir precisamente las condiciones que debe cumplir las 2-categorías:
- Para todo 2-morfismo \(H \colon f \Rightarrow g\), existen 3-morfismos \((H \circ Id_f) \Rrightarrow H\) y \((Id_g \circ H) \Rrightarrow H\).
- Para toda tripleta de 2-morfismos componibles \(H_1, H_2, H_3\) hay un 3-morfismo: \[ (H_1 \circ H_2) \circ H_3 \Rrightarrow H_1 \circ (H_2 \circ H_3) \]
Además pedimos que todo 3-morfismo sea una equivalencia. Antes de explicar qué es una equivalencia, expliquemos cómo podríamos implementar 3-morfismos en \(Top\). Una posibilidad se basa en la observación que las homotopías son funciones continuas, luego podemos definir homotopías sobre ellas. Es decir, entre dos homotopías \(H_1, H_2 \colon X \times I \to Y\) definimos una 2-homotopía \(U \colon H_1 \Rrightarrow H_2\) como una función continua \(U \colon X \times I^2 \to Y\) tal que: \[ U(x,t,0) = H_1(x,t) \] \[ U(x,t,1) = H_2(x,t) \]
Por ejemplo, existe una 2-homotopía de la forma \(U \colon (H \circ Id_f) \Rrightarrow H\), que es: \[ U(x,t,s) = \begin{cases}Id_f(x,t) & \text{ si } t \leq (1-s)/2\\ H(x,(2-s)(t-\frac{1-s}{2})) & \text{ en caso contrario}\end{cases}\] Dejo como ejercicio escribir el resto de las 2-homotopías/3-morfismos que necesitamos.
Ahora toca hablar de equivalencias tal como prometí. Para decir que estos 3-morfismos son equivalencias necesitamos hablar de composición e inversas, a efectos prácticos podriamos decir que ahora estamos considerando \(Top\) una 3-categoría. Sin embargo, para describir las composiciones nos encontramos de nuevo con los problemas que vimos con las 1-homotopías. Para resolverlo, tendremos que añadir 4-morfismos, luego 5-morfismos, 6-morfismos, etc. Si seguimos así, obtendremos \(k\)-morfismos para todo \(k \in \mathbb{N}\), que serán \((k-1)\)-homotopías \(X \times I^{k-1} \to Y\).
En general (y aviso que aquí hay mucho abuso de notación), un \(k\)-morfismo \(f \colon x \to y\) es una equivalencia si existe un \(k\)-morfismo \(g \colon y \to x\) y un par de \(k+1\)-morfismos \(f\circ g \to 1_y\) y \(g \circ f \to 1_x\) que sean equivalencias como \(k+1\)-morfismos. Es un estilo de definición algo raro para quien esté acostumbrado a definiciones recursivas, porque en lugar de tener una definición para \(k\) que dependa del caso \(k-1\), aquí depende de \(k+1\). Este tipo de definición se denomina corecursiva.
Eso convierte nuestro \(Top\) en una \((\infty,1)\)-categoría, con \(k\)-morfismos para todo \(k \in \mathbb{N}\) donde todo \(k\)-morfismo es equivalencia para \(k > 1\).