Usando el teorema generalizado de Fubini

Considérese este ejercicio:

En el proceso de fabricación de un cierto objeto, se seleccionan al azar \(n\) objetos con el fin de decidir si se acepta o rechaza la producción total en función del número de objetos defectuosos presentes en la muestra. Supongamos que la proporción de objetos defectuosos es un número \(p \in ]0,1[\) y que decidimos rechazar la producción total con probabilidad \(k/n\) si hay \(k\) objetos defectuosos entre los \(n\) elegidos. Sabemos que la distribución del número de objetos defectuosos entre \(n\) elegidos al azar es la distribución binomial \(b_n(p)\). Sean, pues \(\Omega_1 = \{0,1,\dots,n\}\), \(\mathcal{A}_1 = \mathcal{P}(\Omega_1)\) y \(P_1\) la distribución binomial \(b_n(p)\) de parámetro \(p\) en \(\Omega_1\). Sea \((\Omega_2, \mathcal{A}_2) = (\{0,1\}, \mathcal{P}(\{0,1\}))\) y consideremos la probabilidad de transición \(S\) de \((\Omega_1, \mathcal{A}_1)\) en \((\Omega_2, \mathcal{A}_2)\) definida por \[ S(k, \{1\}) = \frac{k}{n} = 1 - S(k, \{0\}) \] Esta probabilidad de transición describe la estrategia que seguiremos a la hora de tomar la decisión 0 de aceptar la producción total o 1 de rechazarla. Supongamos conocida una función \(f : \{0,1,\dots,n\} \times \{0,1\} \to [0,+\infty[\) que evalúa el coste que ocasiona la toma de una determinada decisión del siguiente modo: \[ f(k,1)=c, \quad f(k,0)=c'k \] donde \(c\) y \(c'\) son constantes positivas conocidas. Calcular la media de \(f\), valor que podemos utilizar para evaluar el coste medio del proceso de producción.

Si no encuentras problemas resolviendo este ejercicio, no tienes por qué leer esto. En otro caso, este ejercicio es útil para repasar los resultados básicos de la teoría de medida e integración de Lebesgue. Para empezar a resolver, hay que aclarar que cuando se nos pide la media de \(f\). Generalmente, esto significaría una esperanza de alguna variable aleatoria. Naturalmente, estaríamos buscando un par de variables aleatorias \(X\) e \(Y\) de forma que estemos calculando \(E[f(X,Y)]\). Sin embargo, aquí nos podemos limitar a espacios de probabilidad y la forma correcta de referirse a esta media es: \[ \int f d\mu \] Donde \(\mu\) será una medida producto generalizado descrito por este teorema:

Consideremos dos espacios medible \((\Omega_1, \mathcal{A}_1)\) y \((\Omega_2, \mathcal{A}_2)\), y sea \(\mu_1\) una probabilidad en \(\mathcal{A}_1\). Sea \(S\) una probabilidad de transición en \(\Omega_1 \times \mathcal{A}_2\). Sea \(f: \Omega_1 \times \Omega_2 \to \mathbb{R}\) una función no negativa Borel-medible respecto a la \(\sigma\)-álgebra producto. Entonces existe una probabilidad \(\mu\) en \(\mathcal{A}_1 \times \mathcal{A}_2\) tal que: \[ \mu(A_1 \times A_2) = \int_{A_1} S(\omega_1, A_2) \mu_1(d\omega_1) \]

Si te extraña la notación \(\int_\Omega \mu(d\omega)\), ten presente que es equivalente a las notaciones \(\int_\Omega d\mu\) y la francamente mala \(\int_\Omega d\mu (\omega)\). Una intuición para esta notación es pensar que \(d\omega\) un elemento infinitesimal del \(\sigma\)-álgebra que estamos midiendo con \(\mu\).

También nos vendría bien recordar qué era eso de una «probabilidad de transición»:

Dados dos espacios medibles \((\Omega_1, \mathcal{A}_1)\) y \((\Omega_2, \mathcal{A}_2)\), una probabilidad de transición es una aplicación \(S: \Omega_1 \times \mathcal{A}_2 \to [0,1]\) tal que:

• Para cada \(A_2 \in \mathcal{A}_2\), \(S_{A_2} = S(·, A_2)\) es una función Borel-medible de \(\omega_1\).
• Para cada \(\omega_1 \in \Omega_1\), \(\mu_{\omega_1} = S(\omega_1, ·)\) es una probabilidad en \(\mathcal{A}_2\).

Así pues, el ejercicio consiste en hacer la integral de Lebesgue usando la medida producto generalizada de \(\mu\) con la función de transición \(S\) que aparece en el enunciado. Aún así, requerimos un resultado más, el teorema de Fubini generalizado.

Sean \((\Omega_1, \mathcal{A}_1)\) y \((\Omega_2, \mathcal{A}_2)\) espacios de medida, sea \(f: \Omega_1 \times \Omega_2 \to \mathbb{R}\) una función Borel-medible respecto a la \(\sigma\)-álgebra producto y \(\mu\) la medida producto generalizado. Si \(f\) es no negativa o \(\mu\)-integrable, entonces: \[ \int fd\mu = \int_{\Omega_1}\left(\int_{\Omega_2} f(\omega_1, \omega_2) S(\omega_1, d\omega_2)\right)\mu_1(d\omega_2) \]

Este sería un buen momento para volver a intentar resolverlo por tu cuenta, ahora que tienes todas las herramientas. Si aún tienes dudas, lo mejor es empezar por evaluar la integral interna.

En nuestro caso, vamos a reemplazar \(\omega_1\) por \(k\). Además, aprovechamos para aclarar que \(S(\omega_1, d\omega_2)\) hace referencia a la función de probabilidad \(\mu_{\omega_1}(d\omega_2)\) que mencionamos en la definición. Esta primera integral se reduce entonces a:

\[ \int_{\Omega_2} f(k, \omega_2) \mu_k(d\omega_2) \]

Por suerte \(\Omega_2\) es un conjunto muy simple, \(\{0,1\}\), por lo que \(f(k,·)\) toma una cantidad finita de valores para un \(k\) fijo o, en otra palabras, es una función simple. En concreto, podemos escribir \(f(k,·)\) de la siguiente forma: \[ f(k,·) = f(k,0) I_{\{0\}} + f(k,1) I_{\{1\}} \]

Entonces, como \(\{0\}\) y \(\{1\}\) particionan completamente \(\Omega_2\), podemos evaluar la integral como:

\[ f(k,0) \mu_k(\{0\}) + f(k,1) \mu_k(\{1\}) \]

Reemplazando los valores de \(f\) y de \(\mu_k(A) = S(k,A)\) con los mencionados en el enunciado, tenemos:

\[ c'k\left(1-\frac{k}{n}\right) + c \frac{k}{n} \]

Volviendo a la media de \(f\), nos quedaría:

\[ \int fd\mu = \int_{\Omega_1}\left(c'k\left(1-\frac{k}{n}\right) + c \frac{k}{n}\right)dP_1 \]

Donde está \(dP_1\) bien podríamos haber puesto \(P_1(dk)\). Esta \(P_1\) es la función de probabilidad de la distribución binomial \(b_p(n)\). Podemos evaluar esta integral como otra función simple:

\[ \sum_{k=0}^n \left(c'k\left(1-\frac{k}{n}\right) + c \frac{k}{n}\right) \binom{k}{n}p^k(1-p)^{n-k} \]

Ya tenemos el resultado. Simplificando:

\[ \int fd\mu = \sum_{k=0}^n \frac{k}{n}\left(c'(n-k) + c\right) \binom{k}{n}p^k(1-p)^{n-k} \]